Пчёлы, как известно, летают. У медоносной пчелы четыре крыла - два передних и два задних. Передние-то не очень большие - длина 9-10 мм, а задние и того меньше. Во время полёта задние крылья могут соединяться с передними специальными крючками. До недавнего времени расхожим было утверждение, что с такими маленькими крыльями пчела летать не может - по расчётам не хватает их размеров для поднятия пчелы над землёй. Сейчас, наконец, разобрались, и какие-то неламинарные турбулентные очень сложные нестационарные потоки, создаваемые пчелой своими 230 взмахами в секунду учли, и - вуаля - оказывается может! Но мы и так знали, что летает. Давайте посчитаем энергетические параметры полёта.
Зададим исходные данные:
- масса 100 мг,
- длина тела 14 мм,
- диаметр 4 мм.
Форма тела пчелы близка к цилиндру, посчитаем его параметры:
- площадь поверхности 201 \(мм²\),
- площадь поперечного сечения (миделя) 13 \(мм²\),
- площадь проекции (нижней поверхности "фюзеляжа") 56 \(мм²\).
Для начала полёта пчеле надо взлететь - преодолеть силу тяжести:
$$F_w = m\cdot g\tag{1},$$где \(m~=~100~мг\) - масса пчелы, \(g ~=~9,8~м/с²\) - ускорение свободного падения, тогда \(F_w~=~0,98~мН\). Для того, чтобы не упасть - просто висеть в воздухе - пчеле нужно постоянно махать крыльями, с мощностью "висения" по формуле Вельнера-Жуковского:
$$ P_w~=\frac{F_w^{3/2}}{0.75\eta_0D}\tag{2}$$
где \(\eta_0\) - КПД крыльев, положим \(\eta_0\)=0,97;
D - диаметр винта вертолёта, в нашем случае положим \(D=20 мм\) - суммарная длина передних крыльев.
Получается для того, чтобы парить на одном месте пчеле надо махать крыльями с мощностью \(P_w = 2~мВт\). Надо отметить, что КПД такого махания не высок \(\eta = 4,4\%\) [1]. Тогда затрачиваемая мощность составит:
$$ P~=~P_w/\eta \tag{3}$$
\(48~мВт\). Разница \(48-2=46~мВт\) идёт на нагрев тела пчелы.
После отрыва от земли пчеле нужно набрать высоту и скорость. Для набора высоты \(h=10~ м\) нужна энергия \(E_w= F_w\cdot h = 0,98\cdot 10 = 9,8~мДж\). Для набора скорости \(v\), например, \(28~ км/час \approx 7,8~м/с\) нужно еще \(E_v=mv²/2 = 100\cdot10^{-6} \cdot7,8²/2=3~мДж\). Итого, на взлёт необходимо \(12~мДж\), с учётом КПД - \(273~мДж\). Если высоту не набирать, то скорость при мощности 2 мВт будет набрана за 1,5 с.
Дальше - собственно полёт. Т.е. пчела работает, как конвертоплан - крылья выступают в качестве движителя и для набора высоты, и для набора и поддержания скорости, а тело - в качестве крыла в горизонтальном полёте. Для такого "летательного аппарата", как известно, существует крейсерская скорость, при которой тратится наименьшее количество топлива и, соответственно, мощности. На такой скорости создаваемая крылом подъёмная сила равна силе тяжести. Подъёмная сила:
$$ F_y=c_y\frac{\rho v²}{2}s_п \tag{4}$$
где \(\rho=1,25~кг/м³\) - плотность воздуха, \(s_п=56~мм²\) - площадь "крыла", \(c_y\) - аэродинамический коэффициент подъёмной силы. В [2] приведены средние значения скорости пчелы при полёте к кормушке и от кормушки, соответственно, 28,7 и 24,3 км/час:
Доверимся пчёлам и будем считать их крейсерскими. Тогда из формулы (4) при равенстве подъёмной силы силе тяжести можно определить коэффициент \(c_y\) при полёте "туда" и при полёте "обратно": \(c_{y1}=0,44,~c_{y2}=0,92\).
Коэффициент подъёмной силы меняется в полёте из-за изменения угла атаки. Точка "опоры" движителя или точка приложения силы тяги, развиваемой крыльями находится в районе грудной мышцы, а зобик и центр тяжести в районе передней части брюшка. Поэтому при загрузке брюшко тянет вниз и угол атаки возрастает. Положим, что "пустая" пчела имеет массу 100 мг, а "груженная" - 150 мг. Тогда \(c_y\) можно связать с массой (исходя из уже вычисленных \(c_{y1}\) и \(c_{y2}\)):
$$ c_y=0,0096\cdot m - 0,52 \tag{5}~,$$
где m - масса пчелы в миллиграммах.
Второй аэродинамический коэффициент - коэффициент лобового сопротивления или коэффициент формы \(c_x\). Он определяет силу лобового сопротивления:
$$ F_x=c_x\frac{\rho v²}{2}s_c \tag{6}~,$$
где \(s_c=13~мм²\) - площадь поперечного сечения "крыла-фюзеляжа" или площадь миделя.
Для цилиндра с соотношением длины к диаметру 2:1 он равен 0,82. В нашем случае соотношение составляет 3,5:1 (14/4), и форма не вполне цилиндр - каплевидности добавляет округлая голова и заострённый хвост (для вытянутого каплевидного тела \(c_x=0,04\), для современных серийно выпускаемых автомобилей \(c_x=0,2...0,35\)). Поэтому для полёта "туда" положим \(c_{x1}=0,22\) . При полёте обратно, как мы уже выяснили, возрастает угол атаки, при этом возрастает площадь поперечного сечения и, соответственно, коэффициент \(c_x\). Положим \(c_{x2} = 0,40\). Аэродинамические коэффициенты для разных углов атаки связаны между собой, эта зависимость называется полярой. Для небольшого изменения угла атаки поляру можно аппроксимировать прямой линией. Для нашего случая получится:
$$ c_x=0,375 \cdot c_y + 0,055 \tag{7}$$
Ниже показаны аэродинамические силы и мощности в зависимости от скорости.
Подъёмной мощностью здесь названа мощность компенсации разности силы тяжести и подъёмной силы; при достижении крейсерской скорости она становится равной нулю.
Как видно на этих рисунках, действительно, при крейсерской скорости пчела расходует минимум мощности - лишь на преодоление силы лобового сопротивления, которая значительно меньше, чем сила тяжести, т.е. в "транспортном" полёте требуется меньше мощности, чем в "висячем". Напомню, механическая мощность парения составляет 2 мВт, а мощность, расходуемая на горизонтальный полёт получилась около 1 мВт, т.е. примерно в два раза меньше - с учётом КПД - 22,7 мВт.
При скорости \(25~км/час \approx 6,94~м/с\) один километр пчела пролетит за 144 секунды, затратив на это примерно 144 мДж механической мощности. Т. Сили в своей книге "Жизнь пчёл. Нерассказанная история медоносной пчелы в дикой природе" [3] для оценки расхода энергии пчёл на транспортировку нектара применяет число 6,5 Дж/км. Если и мы его применим, то КПД будет 144/6500 = 0,022 = 2,2%, а мощность 45 мВт. Но здесь мы не учли, что при сборе нектара или пыльцы пчела тоже расходует время и энергию, и они по умолчанию включены в расходы на логистику. Поэтому пока не будем торопиться корректировать значение КПД и оставим его 4,4%. Тогда расход энергии именно в горизонтальном полёте составит 3,25 Дж/км.
В качестве источника энергии пчелой используется пища, обычно в полёте - это нектар. Он имеет определённую концентрацию сахаров (от 20 до 66%), для примера положим 40%. При их расщеплении в организме пчелы и вырабатывается энергия. Калорийность мёда известна - 13000 кДж/кг. Концентрация сахаров в мёде составляет около 80%. Калорийность нектара, таким образом, равна \(13000\frac{40}{80}=6500~кДж/кг=6500~Дж/г=6.5~Дж/мг\). Получается на 1 км полёта пчела расходует примерно 0,5 мг нектара.
Особенностью полёта пчелы на крейсерской скорости оказалась слабая зависимость затрачиваемой мощности от величины груза. По-видимому, пчела не задумывается над тем, с какой скоростью ей лететь. Она выдаёт штатную мощность (машет крыльями "как всегда"), а угол атаки и \(c_y\) выставляются автоматически в соответствии с формулой (5). В результате горизонтальное перемещение практически всегда происходит с крейсерской скоростью, которая меняется с изменением массы груза - чем больше груз, тем больше угол атаки и меньше скорость. Пчела имеет возможность чуть подрегулировать \(c_y\) , поджав или вытянув лапки - "Пчела, летящая с пустым зобиком, держит задние ноги вытянутыми назад, а с полным зобиком несет их согнутыми вперед, чтобы выравнивать центр тяжести" [4] .
С какой максимальной скоростью может лететь пчела? В литературе чаще всего можно встретить число 65 км/час, но без указания первоисточника. Не известно кто и когда намерил такую скорость. Но давайте посмотрим на графики мощности: максимальная мощность, развиваемая загруженной пчелой при взлете составляет около 4 мВт. Если провести эту горизонтальную линию до пересечения с графиком, то точка пересечения будет соответствовать скорости 39 км/час, полностью загруженная пчела вряд ли сможет превысить эту скорость. А вот если такую же мощность разовьет незагруженная пчела (верхний график), то она может разогнаться до 48 км/час. В таблице с исходными данными (по И. А. Левченко, 1962) есть значение от 43.2 до 50.4 км/час для 3% пчел. Из них, максимальное значение 50.4 км/час было , скорей всего в одном случае (он и определил границу интервала) - это на 2.4 км/час (0.67 м/с) больше, чем мы предположили. Но это мог быть случай незначительного порыва попутного ветра (2.4 км/час - это очень слабый ветерок). Поэтому в безветренную погоду видимо обозначенный порог 48 км/час вряд ли будет преодолен, ну если только какой-нибудь пчелой-чемпионкой. Может возникнуть вопрос, а как же груженая пчела (в направлении в улей) попала в этот интервал, где нижняя граница составляет 43,2 км/час? Для нее же максимальная расчетная скорость получилась всего 39 км/час. Ответ простой - не все пчелы летящие к улью имеют полную загрузку - это редкое исключение, а вовсе не правило (подробности см. в заметке Сколько взять нектара).
Комментарии
Отправить комментарий