Тепловое взаимодействие ячеек в соте

 В заметке Пчела в ячейке была рассмотрена ячейка с пчелой. Ее взаимодействие с окружающей средой было представлено, как эквивалентное конвективное охлаждение воздухом общей (суммарной) внешней поверхности ячейки - это существенное упрощение. Оно не учитывает теплоемкость и теплопроводность восковых стенок соседних ячеек. А они, как будет видно далее, существенно изменяют текущую термодинамику, как в самой ячейке с пчелой, так и в соседних, и не только самых близких. Дело в том, что теплоемкость и теплопроводность воска значительно больше, чем у воздуха: теплоемкость воздуха в пустой ячейке равна 0.367 мДж/°С, а теплоемкость стенки (при учете половины толщины, т.к. вторая половина относится к соседу) - 68.178 мДж/°С, т.е. в 186 раз больше. Кроме того, соседние ячейки могут быть в разных состояниях (мед, расплод, пчела, пустая, перга, рамка), поэтому и взаимодействие с ними будет разным. Таким образом, для создания полноценной функциональной модели необходимо, во-первых, задать модель каждой соседней ячейки, а не только ячейки с пчелой, и, во-вторых, рассматривать теплообмен для каждой грани отдельно, определяя с какой именно гранью из соседней ячейки контакт.

Итак, перейдем от общей площади поверхности ячейки с пчелой к ее отдельным граням: шести боковым и трем донным. Это означает, что вместо уравнения $$ C_{wall}\frac{dT_{wall}}{dt}=p_{r\_wall}+\frac{T_{ai}-T_{wall}}{r_{ai\_wall}}-\frac{T_{wall}-T_{air}}{r_{wall\_air}} $$ нужно вводить девять частных уравнений для граней, каждое из которых имеет вид:$$C_{wall}[k]\frac{dT_{wall}[k]}{dt}=p_{r\_wall}[k]+\frac{T_{ai}-T_{wall}[k]}{r_{ai\_wall}[k]}-\frac{T_{wall}-T_{neighbor}[k]}{r},$$где k - индекс грани (от 0 до 8), r  - тепловое сопротивление грани (принимает одно из двух значений в зависимости от того, боковая грань или донная), \(T_{neighbor}[k]\) - температура грани со стороны соседа. 

Итого, получится система из 13 уравнений для ячейки с пчелой. Для модели пустых ячеек - это система из 10 уравнений, т.к. там нет уравнений для головы, торакса и брюшка пчелы. Таким образом, проходя по всем ячейкам с шагом, например, 0.01 секунды, можно увидеть динамику изменения температуры в любой ячейке, а в конце - итоговое распределение температуры по ячейкам. 

В упомянутой упрощенной модели было показано, что в светлом соте пчеле было немного теплее, и войдя в такую ячейку при температуре окружающего воздуха 12°С она нагревала воздух в ячейке до 18°С. Поэтому здесь тоже начнем моделирование для светлого сота и исходной температуры 12°С. Пчелу разместим в центре кластера 7х7 ячеек на стороне Y.

Видим, что температура воздуха и стенки достигает установившегося состояния не за 4 минуты, а за 2; температура частей пчелы - не за полчаса, а за 5 минут. Воздух в ячейке нагрелся всего до 12.87°С (вместо 18°С). 

Итоговое распределение температуры по ячейкам:

А теперь, также, как и в упрощенной модели, рассмотрим вариант темных сот:

Оказалось, что темный сот в полной модели теплее - здесь воздух в ячейке нагрелся на градус больше - до 13.87°С.  Итоговое распределение температуры:

Можно также посмотреть какое распределение будет, например, для промежуточного варианта 2 (подробные характеристики вариантов в заметке Пчелиная ячейка):

Из итогового распределения видно, что пчела больше всего, естественно, согревает свою ячейку. Температура в соседних боковых ячейках поднялась больше, чем в соседних донных (на 0.35 и 0.16°С, соответственно), что тоже вполне естественно, т.к. площадь донных граней (ромбов) примерно в 4 раза меньше боковых, а их толщина больше. Температура немного поднялась во втором и третьем от пчелы ряду соседей: в боковом втором на 0.12-0.17°С, третьем - на 0.03-0.07°С, а в донном втором - на 0.09-0.11°С, третьем - на 0.03-0.06°С. В последующих рядах повышение температуры пренебрежимо мало.

Видим, что сот выполняет роль аккумулятора тепла, но в то же время и радиатора охлаждения. Т.е.  часть тепла пчелы распределяется по соту, а часть уходит в улочку. Посмотрим как соотносятся эти доли.

Во-первых, видим, что в первые несколько секунд после входа пчелы в холодную ячейку мощность термогенеза падает с исходных 20.27 мВт до 18.25, а потом в течение нескольких минут устанавливается около 18.88 мВт. Т.е. в ячейке пчеле теплее, и она тратит примерно на 7% меньше энергии, чем вне ее. 

Во-вторых, около 2.6 мВт из этих 18.88 уходит в улочки (пока не учитываем, что при повышении температуры в улочке это значение будет уменьшаться, но в дальнейшем при моделировании улочки это будет учтено). При этом более 3/4 уходит в улочку на стороне пчелы (в данном случае на стороне Y), а чуть менее четверти - на сторону ^. 

Однако, продолжим моделирование и посмотрим, что показывает модель при нескольких пчелах. Добавим три пчелы на стороне Y  и увеличим кластер до 11х11.

Видно, что компактное размещение нескольких пчел позволяет заметно повысить температуру в ячейках с пчелами и в близлежащей зоне их размещения. 

Таким образом, разработанная модель теплового взаимодействия ячеек показывает достаточно правдоподобные результаты.

Несмотря на то, что полученные данные существенно отличаются от результатов моделирования на упрощенной модели, не учитывавшей тепловое взаимодействие ячеек, я бы не стал сейчас отказываться от них и убирать заметку "Пчела в ячейке" из блога. Это был важный и, возможно, необходимый этап в становлении и развитии модели. 

Когда я писал (и читал у некоторых авторов), что светлый сот теплее - это противоречило моим убеждениям: то, что темный сот теплее и его предпочитают пчелы - это же притча во языцех. Результаты полученные на модели подтверждают - старый темный сот теплее нового светлого.