Пчелиная ячейка

 Предыдущие заметки были посвящены модели пчелы, и, надо сказать, помогли мне лучше понять физические явления, связанные с состоянием покоя и полёта, а также некоторые поведенческие особенности при медосборе. Эти результаты (прежде всего модель термогенеза и температуры) в дальнейшем будут использованы при моделировании клуба пчёл на зимовке. Но прежде чем перейти к моделированию клуба, необходимо создать модель жилища семьи медоносных пчёл, в котором этот клуб будет располагаться.

Данной заметкой я начинаю серию по моделированию пчелиного жилища - гнезда. Оно состоит прежде всего из сот, в которых пчёлы выращивают расплод, хранят запасы мёда и перги, располагаются для отдыха и сна. Соты пчёлы строят  обычно внутри некоторого укрытия, защищающего гнездо по периметру от внешних угроз. Это может быть дупло, расщелина в скалах, улей, колода и т.п. 

Соты состоят из ячеек, которые пчёлы строят из вырабатываемого ими же воска. Ячейки могут быть разных размеров в зависимости от предназначения - пчелиные, трутневые, медовые; отдельные большие ячейки для вывода маток - маточники. Больше всего, конечно, строят пчелиных, о них и речь. 

Ячейка представляет из себя шестигранную призму с трёхгранным дном. Таким образом не крайняя ячейка соприкасается с девятью другими - с шестью через боковые грани и с тремя - через грани дна. Центр дна немного заглублен. На верхнем рисунке - вид со стороны входа в ячейку, на нижнем - со стороны дна. Шестигранные призмы, соприкасаясь боковыми гранями, занимают всю площадь сота без зазоров. Известно, что разбиение площади на шестигранники является оптимальным с точки зрения расхода материала, и пчела тоже это "знает". Толщина стенки ячейки - около 0.1 мм. Ячейки, с которыми она соприкасается гранями дна, "смотрят" в противоположную сторону, таким образом образуется двусторонний сот.

Основным числовым параметром, характеризующим размер ячейки является расстояние между противоположными параллельными гранями, иногда его называют диаметром ячейки, так как он равен диаметру вписанной окружности. Он может быть разным - от 4.8 до 5.6 мм. Измерить такой размер без специального инструмента сложно, поэтому на практике пчеловоды отсчитывают 10 или 20 ячеек в ряд, измеряют линейкой их суммарную длину и определяют размер ячейки, разделив измеренную величину, соответственно, на 10 или 20. Однако надо иметь в виду, что в этом случае вычисляется не размер ячейки, а ее шаг, который больше внутреннего размера на толщину стенки. Например, если получилось 5.4 мм, то при толщине стенки 0.1 мм внутренний размер ячейки будет 5.4 - 0.1 = 5.3 мм. После каждого вывода пчел внутри ячейки остаются остатки кокона личинки, поэтому толщина стенок постепенно увеличивается, а внутренний размер уменьшается, при этом шаг ячейки остается неизменным.

Также ячейка характеризуется величиной углубления, или связанным с ним углом между гранями дна. Для справки приведу эту зависимость в ячейке 5.3 мм :

От углубления также зависит форма ромба донной грани, которую часто характеризуют значением тупого угла:

В начале XVIII века известный французский физик Реомюр заинтересовал видного швейцарского математика Кенига следующей задачей: «Какой величины должен быть тупой угол ромба при основании ячейки сотов медоносной пчелы, если бы она была построена с таким расчетом, чтобы вместить наибольшее количество меда при наименьшей затрате воска». Кениг определил этот угол, оказавшийся равным 109°26', и сообщил, что задача для его предшественников была неразрешимой, так как способ вычислений им не был известен. Ученый Маральди, измерив с наиболее доступной точностью углы построенных пчелами-воскоделами ромбов, определил, что больший угол равен 109°28'. Разница между двумя измерениями — всего лишь 2' — представляет собой почти незаметный на глаз по своим размерам угол. И это было не отступлением пчел-строителей сотов от наиболее экономически выгодного размера, а ошибкой математика Кенига.

В 1743 году ученый Маклорин из Эдинбурга представил Королевскому обществу доклад, в котором показал, что размер этого угла равен 109°28'16". По вычислениям полковника Д.Ф. Форбеса этот угол стал равным 109°28'16,349".[29]

Как видно из графика для ячейки 5.3 мм, такой угол ромба получается при углублении примерно 2.2 мм. Угол между гранями дна в этом случае будет около 90°. Для обыкновенной вощины с углом между гранями дна 140° углубление составляет примерно 0.7 мм, для "полумаксимум" (130°) - 0.9 мм, "максимум" (120°) - 1.1 мм. 

От размера ячейки зависит площадь входа (равная площади шестиугольника):

и площадь внутренней поверхности (шести боковых граней и трёх ромбов дна):

Как видим, площадь внутренней поверхности на порядок превосходит площадь входа. Зная площадь поверхности и толщину стенки (полутолщину), можно посчитать сколько воска уходит на одну ячейку. Например, для ячейки 5.3 мм это будет 237\(\times 0.05\) =11.85 мм³. Плотность воска можно принять 900 кг/м³ = 0.9 мг/мм³, следовательно, на одну ячейку нужно 10.665 мг воска.

Можно также посчитать объём ячейки и объём воздуха в ячейке при нахождении там пчелы (объём пчелы принимаем равным объёму цилиндра диаметром 4 мм и высотой 14 мм - 176 мм³):

Площадь пропорциональна квадрату размера, а объём - кубу, но, как видим, на данном небольшом диапазоне они неплохо аппроксимируются линейными зависимостями.

После того, как ячейка построена, она находит разные применения. Соответственно можно ввести различные состояния ячейки, которые можно будет задавать:

1 - ячейка пуста

2 - в ячейке пчела

3 - запечатанная ячейка с мёдом

4 - незапечатанная ячейка с мёдом, может характеризоваться параметром "% заполнения"

5 - запечатанная ячейка с пергой

6 - незапечатанная ячейка с пергой, с параметром "% заполнения"

7 - печатный расплод, с параметром возраст расплода

8 - незапечатанный расплод, с параметром возраст расплода

Возможные варианты смены состояний:

1-2-1

1-4-3-4-1

1-6-5-6-1

1-8-7-1

Если ячейка не используется для выращивания расплода, то ее параметры практически не меняются от времени. Расплодные ячейки с каждым выводом пчелы несколько изменяются т.к. в них остаются остатки кокона и дефекации личинки. 

По данным [29] можно построить модели изменения этих параметров:

По этим данным видно, что изначально на дно (средостение) пчелы строят грани толще, чем на боковые стенки (126 мкм против 100 мкм), и начальная масса ячейки получается не 10.7 мг, а, примерно 17.6 мг. Также видно, что толщина дна увеличивается на порядок быстрее, чем толщина боковой стенки - 62 мкм на одно выведенное поколение против 6 мкм. Масса ячейки увеличивается на 2 мг, а теплоемкость - на 5 мДж/К после каждого вывода.

Исходное состояние ячейки после создания будем называть "Вариант 1", после вывода 7 поколений - "Вариант 2", после вывода 17 поколений - "Вариант 3". 

Теплоемкость приведена в мДж/К, удельная теплоемкость - в Дж/К, теплопроводность - в Вт/(м·К).

Параметры ячейки я собрал в одну заметку в качестве справочника, они пригодятся для дальнейшего моделирования.